Question

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2．（Ⅰ）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2．（Ⅰ）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2得，
a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
由b_n=a_n+1-a_n得，b_n+1=b_n+2，
即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₂-a₁=1，
所以{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=1+2（n-1）=2n-1，
由b_n=a_n+1-a_n得，a_n+1-a_n=2n-1，
则a₂-a₁=1，a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
所以，a_n-a₁=1+3+5+…+2（n-1）-1
=

(n?1)(1+2n?3)

2

=（n-1）²，
又a₁=1，
所以{a_n}的通项公式a_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．