Question

已知f（x）=x3+ax2-x+2，g（x）=xlnx．（1）如果函数f（x）的单调递减区间为(?13，1)，求函数f（x）的解

已知f（x）=x3+ax2-x+2，g（x）=xlnx．（1）如果函数f（x）的单调递减区间为(?13，1)，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；（3）对一切的x∈（0，+∞），f′（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax-1
由题意3x²+2ax-1＞0的解集是(?

1

3

，1)即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

1

3

，1
将x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+2
（2）设切点坐标是M（x₀，y₀）（x₀≠1）．有

y0?1

x0?1

=3x₀²-2x₀-1
将y₀=x₀³-x₀²-x₀+2代入上式整理得2x03?4x02+2x0＝0，即2x0(x0?1)2＝0
得x₀=1或x₀=0．
函数f（x）=x³-x²-x+2的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y-2=0或y=1．
（3）由题意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x²+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′（x）=-

(x?1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．