Question

设函数f（x）=（x-2）2（x+b）ex，若x=2是f（x）的一个极大值点，则实数b的取值范围为______

设函数f（x）=（x-2）2（x+b）ex，若x=2是f（x）的一个极大值点，则实数b的取值范围为______．

Answer 1

函数的导数为f'（x）=e^x[（x-2）²（x+b）]+e^x[（x-2）²（x+b）]'=f'（x）=e^x（x-2）[x²+（b+1）x-2]，
设g（x）=x²+（b+1）x-2，则△=（b+1）²+8＞0，所以g（x）有两个不相等的实根．
于是可设x₁，x₂是g（x）=0的两实根，且x₁＜x₂，
①当x₁=2或x₂=2时，则x=2不是f（x）的极值点，此时不合题意；
②当x₁≠2且x₂≠2时，由于x=2是f（x）的极大值点，故x₁＜2＜x₂，即g（2）＜0，
即2²+2（1+b）-2＜0，所以b＜-2，
所以b的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．