已知函数f(x)=-ax+ex,x∈R(1)若a=e,求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,且对于任意x>0不等式f
已知函数f(x)=-ax+ex,x∈R(1)若a=e,求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,且对于任意x>0不等式f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;(3)构...
已知函数f(x)=-ax+ex,x∈R(1)若a=e,求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,且对于任意x>0不等式f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;(3)构造函数F(x)=f(x)+f(-x)(x>0),求证:F(1)F(2)…F(2014)>(e2015+2)1007.
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(1)f′(x)=ex-e,令f′(x)=0,解得x=1
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)单调递增;
当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,1)单调递减.
f(x)的单调递增区间是(1,+∞),f(x)的单调递减区间是(-∞,1).
(2)f′(x)=ex-a,令f′(x)=0,解得x=lna.
①当a∈(0,1]时,f′(x)=ex-a>1-a≥0(x>0).此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.
f(x)≥f(0)=1>0,符合题意.
②当a∈(1,+∞)时,lna>0.当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(lna)=a-alna.
依题意,a-alna>0,又a>1,1<a<e.
综合①,②得,实数k的取值范围是0<a<e.
(3)∵F(x)=f(x)+f(-x)=ex+e-x,
∴对于?x1,x2∈R,都有:
F(x1 )F(x2 )=ex1+x2+e?(x1+x2)+ex1?x2+e?x1+x2
≥ex1+x2+e?(x1+x2)+2
>ex1+x2+2,
∴F(1)F(2014)>e2015+2,F(2)F(2013)>e2015+2,F(2014)F(1)>e2015+2,
因此,[F(1)F(2)…F(2014)]2=[F(1)F(2014)][F(2)F(2013)]…[F(2014)F(1)]>(e2015+2)2014,
故F(1)F(2)…F(2014)>(e2015+2)1007.
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)单调递增;
当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,1)单调递减.
f(x)的单调递增区间是(1,+∞),f(x)的单调递减区间是(-∞,1).
(2)f′(x)=ex-a,令f′(x)=0,解得x=lna.
①当a∈(0,1]时,f′(x)=ex-a>1-a≥0(x>0).此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.
f(x)≥f(0)=1>0,符合题意.
②当a∈(1,+∞)时,lna>0.当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (0,lna) | lna | (lna,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
依题意,a-alna>0,又a>1,1<a<e.
综合①,②得,实数k的取值范围是0<a<e.
(3)∵F(x)=f(x)+f(-x)=ex+e-x,
∴对于?x1,x2∈R,都有:
F(x1 )F(x2 )=ex1+x2+e?(x1+x2)+ex1?x2+e?x1+x2
≥ex1+x2+e?(x1+x2)+2
ex1?x2?e?x1+x2 |
>ex1+x2+2,
∴F(1)F(2014)>e2015+2,F(2)F(2013)>e2015+2,F(2014)F(1)>e2015+2,
因此,[F(1)F(2)…F(2014)]2=[F(1)F(2014)][F(2)F(2013)]…[F(2014)F(1)]>(e2015+2)2014,
故F(1)F(2)…F(2014)>(e2015+2)1007.
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