Question

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．（1）求数列{an}、{bn}

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn＝1bnbn+1，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：13≤Tn＜12．

Answer 1

（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 

an

an?1

＝2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n?1，Sn＝2n?1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn＝

1

bnbn+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn＝

1

2

(1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

)＝

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn＝

1

2

(1?

1

2n+1

)＜

1

2

…（11分）Tn?Tn?1＝

n

2n+1

?

n?1

2n?1

＝

1

(2n+1)(2n?1)

＞0
∴数列{T_n}是一个递增数列                                           …（12分）
∴Tn≥T1＝

1

3

．…（13分）
综上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

…（14分）