Question

一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示

一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求：（g=10m/s2）（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点；（3）小球从h'=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦．

Answer 1

（1）设小球滑至环顶时的速度为υ₁，所受环的压力为N．
小球运动过程中机械能守恒：mg(h?2R)＝

1

2

m

υ

2 1

①
在顶点由圆周运动的知识有：mg+N＝m

υ 2 1

R

②
联立①②解得：N＝mg(

2h

R

?5)（
代入数值解得：N ＝2×10(

2×3.5

1

?5)N＝40N
由牛顿第三定律知小球对环的压力大小为：N'=N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度υ₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁为最低高度，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mg(h1?2R)＝

1

2

m

υ

2 2

③
mg＝m

υ 2 2

R

④
联立③④解得：h1＝

5

2

R＝2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶端前即与环脱离，设脱离圆环时的位置半径与竖直方向的夹角为α，选轨道最低点为零势点，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mgh′＝

1

2

mυ2+mgR(1+cosα)⑤
mgcosα＝m

υ2

R

⑥
联立⑤⑥解得：cosα＝

2(h′?R)

3R

＝

2

3

答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N．
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点．
（3）小球从h'=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦为

2

3

．