Question

已知函数f(x)=x^2+ax+3,当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围

Answer 1

该问题等价于当x∈[-2,2]时，f(x)-a≥0恒成立。
所以由g(x)=f(x)-a=x^2+ax+3-a 知g(x)的图形是开口向上的抛物线，其对称轴为 x=-a/2
1、若对称轴在 [-2,2] 左侧时，x=-a/2<-2,得a>4。抛物线在 [-2,2] 上单调增，只须g(-2)≧0
即4-2a+3-a≧0，解得 a≦7/3。但因为 a>4，故此时无解。
2、若对称轴在 [-2,2] 上时，有-2≦-a/2≦2,得 -4≦a≦4。此时必须 Δ≦0，即 a²-4(3-a)≦0
解得 -6≦a≦2，故取 -4≦a≦2。
3、若对称轴在 [-2,2] 右侧时，-a/2>2,得a<-4。抛物线在 [-2,2] 上单调减，只须g(2)≧0
即4+2a+3-a≧0，解得 a≦7，故取 a<-4。
综上所述，所求的取值范围是 a≦2

追问

4+2a+3-a≧0，解得 a≦7，算的不对吧？

追答

你说得对，是太晚了头昏了吧。应该是得a≧-7，取 -7≦a<-4。最后结果是 -7≦a≦2。
实在对不起啦。

Answer 2

解：∵f(x)=x^2+ax+3=(x+a/2)^2+(3-a^2/4)
∴f(x)-a=(x+a/2)^2+3-a-a^2/4
=(x+a/2)^2+(3+a/2)(1-a/2) ①
又∵当x∈[-2,2]时，f(x)≥a，即：f(x)-a≥0
∴①≥0，即：:(x+a/2)^2+(3+a/2)(1-a/2) ≥0
又无论x、a取何值，均有(x+a/2)^2≥0
∴只要(3+a/2)(1-a/2) ≥0，就一定有f(x)-a≥0
解不等式(3+a/2)(1-a/2) ≥0，得：-6≤a≤2
∴a∈[-6,2]

Answer 3

函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a／2，依题意得
①当-a／2≤-2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-2)=4-2a+3≥a，无解
②当-2＜-a／2＜2，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-a／2)≥a，得-4＜a≤2
③当-a／2≥2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(2)=4+2a+3≥a，得-7≤a≤-4
综上所述得：-7≤a≤2