Question

等价无穷小的使用注意事项

Answer 1

1.等价的两个无穷小之间的关系是“等价”而不是“相等”。所以，在不涉及极限运算时，不能直接用一个无穷小代替另一个。例如：当x－>0时，ln(1+ x)∽x，但

ln(1+ x)= x+ο(x).

当讨论在点0附近函数f(x)+ ln(1+ x)-x的性态时，有

f(x)+ ln(1+ x)-x= f(x)+x+ο(x)-x=f(x)+ο(x).

而不能是

f(x)+ ln(1+ x)-x=f(x)+x-x=f(x) ！

2.在计算有理函数（分式函数）的极限时，用无穷小替换需要注意：替换可以对分式的分子或分母的因子进行；但当分子或分母是多项式时，一般不能只对其中的某些项进行无穷小替换，甚至对所有项分别替换都是不可以的！一个最典型的例子是：

求当x－> 0，函数(tanx-sinx)/ x^3的极限时，如果用tanx~x、sinx~x分别替换函数分子的两项，则由于分子变成x-x=0，导致整个函数的极限等于0.但事实上，经过如下简单变形后

(tanx-sinx)/ x^3= sinx(1-cosx)/ x^3·cosx，

应用无穷小替换sinx~x、1-cosx~x^2/2，容易求得最终极限是1/2 ！上面极限是0的错误的出现就是因为错误地对分子的各项分别作了无穷小替换！

简而言之，“因子可替换，分项不可替换”！此处“因子”当然可以是整个分子或分母。