Question

一道高一数学题？

(思考题)(2016年北大自主招生)点M在MABC所在的平面，上，且三角形MBC，AMC，ABM的面积相等，则满足条件的点M组成的集合的子集个数等于_

Answer 1

首先如左图所示，M为△ABC的重心（三中线交点），重心分别与三个边构建的三个三角形面积相等。（这里证明就省略了，如果需要另附）。这样重心符合题意一种情况。

如右图所示，在△ABC外取点M2，使M2ABC为平行四边形，同理，AM3CB、ABM4C也为平行四边形。以平行四边形M2ABC为例，过M2作BC边的垂线M2H2，过M做BC边垂线MH1，根据重心性质，CM=2ME，而CE=EM2，则CM2=3CM，根据三角形相似，垂线M2H2=3MH1。则△M2BC的面积就等于3倍△MBC的面积。同理△M2AB的面积就等于3倍△ABM的面积，△M2AC的面积就等于3倍△AMC的面积。而根据左图的结论，△MBC、△ABM、△AMC它们的面积相等，所以△M2BC、△M2AB、△M2AC的面积相等。M2即为所求一种情况。

同理M3、M4亦是如此。

因此子集个数有4个。