Question

在三角形ABC中，a.b.c分别是角A角B角C的对边。求证a/SinA=b/SinB=c/SinC

Answer 1

S△ABC=1/2*a*b*sinC
S△ABC=1/2*a*c*sinB
S△ABC=1/2*b*c*sinA
所以
b*sinC=c*sinB
所以
b/sinB=c/sinC
同理
a/sinA=b/sinB
所以
a/SinA=b/SinB=c/SinC

Answer 2

画三角形ABC的外接圆及其直径，设其半径为R,，得a/SinA=2R
b/SinB=2R
c/SinC=2R
所以a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R

Answer 3

在圆内证明这个正弦定理
设三角形ABC的外接圆为圆O，连接AO并延长交圆O为D,则∠ACB=∠ADB(同弧所对圆周角相等），因为AD为圆的直径，所以三角形ABD为直角三角形，所以AB/sin∠ADB=AD,即c/sinC=2r,同理可证：a/sinA=b/sinB=c/siC=2r（r为外接圆半径）

Answer 4

用等面积法求
三角形ABC的面积相等即S=1/2a*c*sinB=1/2b*c*sinA ∴a/SinA=b/SinB
S=1/2a*bsinC=1/2c*bsinA a/SinA=c/SinC
即a/SinA=b/SinB=c/SinC