Question

如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF长

Answer 1

解:作OM⊥CD于M,则DM=CD/2=8,连接OD;连接FO交延长,交AE于N.

则:OM=√(OD²-DM²)=6;

∵AE⊥CD,OM⊥CD,BF⊥CD.

∴AE∥OM∥BF;又AO=OB,则:EM=MF;NO=OF.

∴NE=2OM=12cm.(三角形中位线的性质）

∵AO=BO，ON=OF，∠AON=∠BOF。

∴⊿AON≌⊿BOF(SAS),AN=BF.

故:AE-BF=AE-AN=NE=12cm.

Answer 2

连接OC,OC=10cm，作ON⊥CD于N,则N为CD的中点,CN=CD/2=16/2=8（cm），
ON²=OC²-CN²=10²-8²，ON=6cm；

在AE选择一点P,使得AP=BF,作PQ⊥AE于P,交AO于Q,
AE//BF,∠A=∠B,AP=BF,∠APQ=∠BFG=90°
RT△APQ≌RT△BFG,[ASA],
AQ=BG,
OQ=OA-AQ=10-AQ=10-BG=OB-BG=OG;

作OH⊥AE于H,QP//OH//GE,OQ=OG,所以PH=HE=PE/2;
ON⊥CD,OH⊥GE,AE⊥GE,四边形ONEH为矩形，HE=ON=6cm;
AE-BF=AE-AP=PE=2HE=2x6=12（cm）。

Answer 3

12

作OM⊥CD于M，连FO延长交AE于N，连OD(、OC)

∵AE⊥CD，BF⊥CD

∴AE∥BF

∴ ∠A=∠B

又AO=BO，∠AON=∠BOF

∴△AON≌△BOF(ASA)

∴AN=BF

且ON=OF

∵NE⊥CD，OM⊥CD

∴OM是△EFN的中位线

∵OC=OD

∴OM垂直平分CD

∴MD=CD/2=8

∵OD=10

∴OM=6

∴AE-BF=AE-AN=NE=2OM=12