Question

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导数为f'(x)=2x+2. 数列{an

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导数为f'(x)=2x+2
数列{an}的前n项和为Sn,点（n,Sn)(n属于N)均在函数y=f(x)的图像上。
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=2/ana(n+1),Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn的表达式

Answer 1

(1)、二次函数y=f(x)的导数为f'(x)=2x+2
∴可设二次函数f(x)=x²+2x+C
又∵二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点
∴C=0，即二次函数f(x)=x²+2x
又∵数列{an}的前n项和为Sn,点（n,Sn)(n属于N)均在函数y=f(x)的图像上
∴Sn=n²+2n
∴a1=S1=3
an=Sn-S(n-1)
=n²+2n-[(n-1)²+2(n-1)]
=2n+1
(2)、∵bn=2/ana(n+1)
=2/[(2n+1)(2n+3)]
=1/(2n+1)-1/(2n+3)
∴Tn=b1+b2+b3+……+bn
=2/a1a2+2/a2a3+3/a3a4+……+2/ana(n+1)
=(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+……+[1/(2n+1)-1/(2n+3)]
=1/3-1/(2n+3)
=2n/[3(2n+3)]

Answer 2

（1）f(x)过原点，说明f(0)=0；再由f'(x)=2x+2，易得f(x)=x²+2x。所以Sn=n²+2n。a1=S1=3。当n>=2时，有an=Sn-S(n-1)=2n+1；经检验，a1=3满足此关系式，所以{an}的通项公式为an=2n+1。
（2）bn=2/ana(n+1)=2/(2n+1)(2n+3)=[1/(2n+1)] - [1/(2n+3)]。Tn=b1+b2+.....+bn=(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+.....+[1/(2n+1)-1/(2n+3)]=1/3-1/(2n+3)。（中间都消没了，只剩两头）
这是按照n从1开始做的，如果你们要求n从0开始，那么只需加上b0项即可，b0=2/3，
Tn=1-1/(2n+3)。
结论，如果n从1开始取值，Tn=1/3-1/(2n+3)。
如果n从0开始取值，Tn=1-1/(2n+3)。

Answer 3

y=f(x)=X^2+2x
Sn=n^2+2n
Sn+1=n^2+4n+5
An+1=2n+3,A1=S1=3
An=2n+1