Question

已知数列{a n }的前n项和为s n ，且a 1 =1，na n+1 =（n+2）s n （n∈N * ）．（1）求证：数列{ s

已知数列{a n }的前n项和为s n ，且a 1 =1，na n+1 =（n+2）s n （n∈N * ）．（1）求证：数列{ s n n }为等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式及前n项和s n ；（3）若数列{b n }满足：b 1 = 1 2 ， b n+1 n+1 = b n + s n n （n∈N * ），求数列{b n }的通项公式．

Answer 1

（1）证明：将a n+1 =S n+1 -S n 代入已知na n+1 =（n+2）S n ； 整理得 s n+1 n+1 =2? s n n  （n∈N ? ）． 又由已知 s 1 1 =1， 所以数列{ s n n }是首项为1，公猜颤饥比为2的等比数列． （2）由（1）的结论可得 s n n =2 n-1 ，穗返∴Sn=n?2 n-1 当n≥2时， a n =S n -S n-1 =n?2 n-1 -（n-1）?2 n-2 =（n+1）?2 n-2 由已知，a 1 =1，又当n=1时，（n+1）?2 n-2 =1， ∴a n =（n+1）?2 n-1 （n∈N * ）． （3）由 b n+1 n+1 = b n + s n n （n∈N * ）． 得 b n+1 n+1 = b n n + 2 n-1 ， 由此式可得 b n n = b n-1 n-1 + 2 n-2 ， b n-1 n-1 = b n-2 n-2 + 2 n-3 ， … b 3 3 = b 2 2 + 2 1 ， b 2 2 = b 1 1 + 2 0 把以上各等式相加得， b n n = b 1 +2+ 2 2 +…+ 2 n-2 = 2 n-1 - 1 2 （n∈N * ，n≥2）． 所以b n = n 2 n-1 - 1 2 n （n∈N * ，n≥2）． 当n=1时也符洞碰合，所以b n = n 2 n-1 - 1 2 n ．