Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。 （1）证明

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。 （1）证明：AP⊥BC；（2）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。求二面角B-AP-C的大小。

Answer 1

解：（1）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC 又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC 因为PO∩AD=O， 所以BC⊥平面PAD 故BC⊥PA；

（2）如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连CM 因为BC⊥PA，得AP⊥平面BMC 所以AP⊥CM 故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角 在Rt△ADB中，AB 2 =AD 2 +BD 2 =41，得AB= 在Rt△POD中，PD 2 =PO 2 +OD 2 在Rt△PDB中，PB 2 =PD 2 +BD 2 所以PB 2 =PO 2 +OD 2 +BD 2 =36，得PB=6 在Rt△POB中，PA 2 =AO 2 +OP 2 =25，得PA=5 又 从而 所以 同理CM 因为BM 2 +MC 2 =BC 2 所以 =90° 即二面角B-AP-C的大小为90°。