Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．

如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CDE+∠DEC=135°．
∵∠ADE=45°，
∴∠CDE+∠ADB=135°，
∴∠DEC=∠ADB，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵BD=x，AE=y，AB=AC=2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：BC=2

2

∴CD=BC-BD=2

2

-x，CE=AC-AE=2-y，
∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

＝

BD

CE

，
即

2

2 2 ?x

＝

x

2?y

，
即y=

1

2

x2?

2

x+2（0＜x＜2

2

）．