Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=AB=1，CD=2AB．E为PC的中点．（I

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=AB=1，CD=2AB．E为PC的中点．（I）证明：EB∥平面PAD；（II）求证：BC⊥平面PBD；（II）求四面体P-BDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CD中点F，连接EF、BF，又∵PE=EC，据三角形的中位线定理得EF∥PD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
∵AB∥DC，AB=DC=

1

2

DC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，
∵BF?平面PAD，AD?平面PAD，∴BF∥平面PAD．
而BF∩EF=F，∴平面BEF∥平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四边形ABFD是平行四边形，AD⊥DC，∴四边形ABFD是矩形，∵AD=1，CD=2AB，
∴DF=FC=FB=1，∴△BCD是Rt△．∴BC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩AD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：BF⊥DC，PD⊥BF，∴BF⊥平面PCD．
∵PE=EC，∴S_△PED=

1

2

S_△PCD=

1

2

×

1

2

×1×2＝

1

2

．
∴V_P-BDE=V_B-PED=

1

3

S△PED×BF=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．