Question

微积分 第五题怎么做？

Answer 1

f'(x) = ln(1+x) + x/(1+x) - lnx - (1+x)/x < 0, for x > 0
f(1) = ln2 > 0
f(x)是单调减的函数，f(1) > 0, 那么足以说明 f(x) 在 （0, oo)内有唯一零点。

追问

如何看出导数小于0啊

追答

可以证明 f''(x) > 0, f'(oo) = 0, 所以 f'(x) < 0.

Answer 2

y＝f（x）=xln（x+1）-（1+x）lnx
y'＝f'（x）＝ln（x+1）+x/（1+x）-lnx-（1+x）/x＝ln[（x+1）/x]+1-1/（1+x）-1-1/x＝ln[（x+1）/x]-1/（1+x）-1/x
y''＝1/（x+1）-1/x+1/（1+x）²+1/x²＝[x²（x+1）-x（x+1）²+x²+（x+1）²]/x²（x+1）²＝[x²-x（2x+1）+x²+（x²+2x+1）]/x²（x+1）²＝（x²+x+1）/x²（x+1）²＞0。
∴y'＝f'（x）在（0，+∞）递增。
设A=lim（x---＞0）y'＝＋∞-1-（+∞）是不定式。ln（x+1）-lnx＝1/x+1/（x+1），lim（A＞＞＞0）（x²+x）[ln（x+1）-lnx]/（2x+1）
。lim（x---＞＋∞）
先去睡觉了。以后再写