高二数学17题
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(1)设F是A1A的中点，连接D1F，BD1，正方体边长为2a
E是D1D的中点，F是A1A的中点，所以D1F∥AE，
AE与BD1所成的角α=∠FD1B
FD1=FB=√(AF²+AB²)=√5a
BD1=√(AB²+AD²+D1D²)=2√3a
设BD1的中点为G，易得FG⊥D1B
cosα=cos∠FD1B=√3/√5=√15/5
（2）
设DE=ka，则ED1=（2-k）a，AC的中点为O
EA=EC，AO=OC, ∴EO⊥AC
AB1=CB1，AO=OC ∴B1O⊥AC
∴∠EOB1=θ
B1O=√（4a²+2a²）=√6a
EO=√(k²a²+2a²)
EB1²=4a²+4a²+(2-k)²a²=（12-4k+k²）a²
EB1²=B1O²+EO²-2B1O*EB1*cos∠EOB1
8a²+(2-k)²a²=6a²+(k²+2)a²-2√（k²+2）a²
2-2k=-√（k²+2）
2-8k+3k²=0
k=[4-√10]/3，k=[4+√10]/3＞2（舍去）
k/2=(4-√10)/6
即DE等于（4-√10）/6棱长时，cosθ=√6/6
E是D1D的中点，F是A1A的中点，所以D1F∥AE，
AE与BD1所成的角α=∠FD1B
FD1=FB=√(AF²+AB²)=√5a
BD1=√(AB²+AD²+D1D²)=2√3a
设BD1的中点为G，易得FG⊥D1B
cosα=cos∠FD1B=√3/√5=√15/5
（2）
设DE=ka，则ED1=（2-k）a，AC的中点为O
EA=EC，AO=OC, ∴EO⊥AC
AB1=CB1，AO=OC ∴B1O⊥AC
∴∠EOB1=θ
B1O=√（4a²+2a²）=√6a
EO=√(k²a²+2a²)
EB1²=4a²+4a²+(2-k)²a²=（12-4k+k²）a²
EB1²=B1O²+EO²-2B1O*EB1*cos∠EOB1
8a²+(2-k)²a²=6a²+(k²+2)a²-2√（k²+2）a²
2-2k=-√（k²+2）
2-8k+3k²=0
k=[4-√10]/3，k=[4+√10]/3＞2（舍去）
k/2=(4-√10)/6
即DE等于（4-√10）/6棱长时，cosθ=√6/6
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