Question

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a 2 x 2 +ax（a≥0）．（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；（2）

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a 2 x 2 +ax（a≥0）．（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=lnx-x 2 +x，其定义域是（0，+∞） ∴ f′(x)= 1 x -2x+1= - 2 x 2 -x-1 x        …（2分） 令f′（x）=0，即 - 2 x 2 -x-1 x =0，解得 x=- 1 2 或x=1．∵x＞0， ∴ x=- 1 2 舍去． 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0． ∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减 ∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1 2 +1=0． 当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0． ∴函数f（x）只有一个零点．             …（7分） （2）显然函数f（x）=lnx-a 2 x 2 +ax的定义域为是（0，+∞） ∴ f′(x)= 1 x -2 a 2 x+a= -2 a 2 x 2 +ax+1 x = -(2 a   x   +1)(ax-1) x …（8分） 1当a=0时， f′(x)= 1 x ＞0 ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意   …（9分） 2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x＞0），即 x＞ 1 a 此时f（x）的单调递减区间为[ 1 a ，+∞）． 依题意，得 1 a ≤1 a＞0 ，解之得a≥1．  …（11分） 综上，实数a的取值范围是[1，+∞） …（14分） 法二： ①当a=0时， f′(x)= 1 x ＞0 ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意…（9分） ②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立， ∵x＞0，∴只要2a 2 x 2 -ax-1≥0，且a＞0时恒成立， ∴ a 4 a 2 ≤1 2 a 2 -a-1≥0 解得a≥1 综上，实数a的取值范围是[1，+∞）  …（14分）