Question

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数（Ⅰ）求椭圆M的方程；（

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

Answer 1

（Ⅰ） 设椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
则有

a2?b2＝1 1 a ＝ 2 2

解得

a＝ 2 b＝1

，
∴椭圆M的方程为

x2

2

+y2＝1
（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点
当k存在时，设PQ：y=k（x-2）
代入

x2

2

+y2＝1整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有