Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（Ⅱ）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5 ∴三角形ABC的周长为12，又因EF平分三角形ABC的周长， ∴AE+AF=6，而AE=x， ∴AF=6-x 过点F作FD⊥AC于D 则 DF AF =sinA= BC AB = 4 5 ∴ DF 6-x = 4 5 ∴DF= 4 5 (6-x) 所以y= 1 2 AE?DF= 1 2 x? 4 5 (6-x) =- 2 5 x 2 + 12 5 x（1＜x＜3） （Ⅱ）这样的EF存在， S△ABC= 1 2 BC?AC= 1 2 ×4×3=6 ∵EF平分△ABC的面积， 所以- 2 5 x 2 + 12 5 x=3 解得：x= 6± 6 2 ∵1＜x＜3 ∴x取 6- 6 2 ∴6-x=6- 6- 6 2 = 6+ 6 2 ＜5 符合题意，所以这样的EF存在，此时AE= 6- 6 2 ．