Question

如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为

如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． （1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM 2 =y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。 又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。 （2）∵△ADP∽△ABQ，∴ ，即 。∴QB=2x。 ∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x． 如图，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点， ∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴ ， 。 在Rt△BMN中，由勾股定理得 ， ∴y与x的函数关系式为： （0＜x＜20）。 ∵ ， ∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为 。 （3）设PQ与AB交于点E。 如图，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN。 ∵△ADP∽△ABQ，∴ ，即 ，解得 。 ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP。 ∴ ，即 ，解得 。 ∵MN为中位线，∴ 。 ∵BE＞MN，∴ ，解得 。 ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为： ，

（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似。 （2）如图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值。 （3）如图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围。