已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b= 3 ,且函数f(x)=2 3

已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=3,且函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx一3在x=A处取得最大值.(1)求函数f(x)的值域及周... 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b= 3 ,且函数f(x)=2 3 sin 2 x+2sinxcosx一 3 在x=A处取得最大值.(1)求函数f(x)的值域及周期;(2)求△ABC的面积. 展开
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(1)△ABC的边b=
3
,它的三个内角A,B,C成等差数列,∴2B=A+C,再由三角形的内角和公式求得B=
π
3
,A+C=
3

又函数f(x)=2
3
sin 2 x+2sinxcosx一
3
=2
3
?
1-cos2x
2
+sin2x-
3
=-
3
cos2x+sin2x=sin(2x-
π
3
),
故有正弦函数的定义域和值域可得函数f(x)的值域为[-2,2],且最小正周期为
2
=π.
(2)由于函数f(x)在x=A处取得最大值,故有sin(2A-
π
3
)=1,∴2A-
π
3
=
π
2
,A=
12
,故C=
π
4

再由正弦定理可得
3
sin
π
3
=
c
sin
π
4
,求得c=
2
,∴△ABC的面积为
1
2
bc?sinA=
1
2
×
3
×
2
×sin(
π
4
+
π
6

=
6
2
2
2
×
3
2
+
2
2
×
1
2
)=
3+
3
4
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