Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）．（1）求证： = ；（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S= ；（3）若 ，当 变化时，说明正方形ABCD的面积S随 的变化情况．

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Answer 1

（1）过A点作AF⊥l 3 分别交l 2 、l 3 于点E、F，过C点作CG⊥l 3 交l 3 于点G， ∵l 2 ∥l 3 ，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，乱塌即 = ； （2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD 2 =AF 2 +FD 2 ，∴S=3 ； (3)由题意，得 ， 所以 ， 又 ，解得0＜h 1 ＜ ∴当0＜h 1 ＜ 时，S随h 1 的源旁增大而减小； 当h 1 = 时，S取得最小值 ； 当 ＜h 1 ＜ 时，S随h 1 的增大而增大.

（1）通过证明三角形全等证得 = ； （2）通过做辅助线构建直角三角形，用勾股定理可得S=3 （3）利用二次函数的思想求得正方形雹陪橡ABCD的面积S随 的变化情况．