Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2 3 ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

（1）如图：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D， ∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC ∥ OD， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BC， 即直线BC与⊙O的切线， ∴直线BC与⊙O的位置关系为相切； （2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，又BD=2 3 ， 在Rt△OBD中， OD 2 +BD 2 =OB 2 ， 即r 2 +（2 3 ） 2 =（6-r） 2 ， 解得r=2，OB=6-r=4， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE = 60×π× 2 2 360 = 2 3 π， S △ODB = 1 2 OD?BD= 1 2 ×2×2 3 =2 3 ， ∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S △ODB -S 扇形ODE =2 3 - 2 3 π．