Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（I）求f（1）和 f( 1 9 ) 的值；（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数， 对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）， ∴令x=y=1，得f（1）=0． 而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（ 1 9 ）=f（1）=0， 得f（ 1 9 ）=2． （II）设0＜x 1 ＜x 2 ＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（ x 2 x 1 ）， 因 x 2 x 1 ＞1，由（2）知f（ x 2 x 1 ）＜0， 所以f（x 2 ）＜f（x 1 ）， 即f（x）在R + 上是递减的函数． 由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（ 1 9 ）， 由函数f（x）在R + 上的递减性，得： x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9 ， 由此解得x的范围是（1- 2 2 3 ，1+ 2 2 3 ）．