Question

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2 -6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2 -6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

Answer 1

∵方程x 2 -6x+a=0有实数根， ∴△=36-4a≥0， （1）当△=0时，即△=36-4a=0，解得a=9，此时三角形为等边三角形； （2）当△＞0，即△=36-4a＞0时，解得a＜9， 设两根为x 1 ，x 2 （x 1 ＜x 2 ）此时存在一个等腰三角形底边为x 1 ，腰为x 2 ，此时不存在一个等腰三角形底边为x 2 ，腰为x 1 即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x 1 ≤x 2 ， 由根与系数的关系可得，3x 1 ≤x 1 +x 2 =6， ∴x 1 ≤2， ∵x 1 +x 2 =6，x 1 ?x 2 =a， ∴a=x 1 ?（6-x 1 ）， =6x 1 -（x 1 ） 2 =-（3-x 1 ） 2 +9 ∴=-（3-x 1 ） 2 +9≤8， ∴当0＜a≤8，a=9时，三角形只有一个．