Question

已知α1，α2，…，αn线性无关，证明向量组α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1线性无关的充要条

已知α1，α2，…，αn线性无关，证明向量组α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是n为奇数．

Answer 1

设存在一组实数k_i（i=1，2，…，n），使得
k₁（α₁+α₂）+k₂（α₂+α₃）+…+k_n-1（α_n-1+α_n）+k_n（α_n+α₁）=0
即
（k₁+k_n）α₁+（k₁+k₂）α₂+…+（k_n-2+k_n-1）α_n-1+（k_n-1+k_n）α_n=0
由于α₁，α₂，…，α_n线性无关
∴

k1+kn＝0 k1+k2＝0 … kn?2+kn?1＝0 kn?1+kn＝0

对这一齐次线性方程组的系数矩阵（设为A）施行初等行变换，化成行阶梯形矩阵
A=

1 0 0 … 0 0 1 1 1 0 … 0 0 0 0 1 1 … 0 0 0 ? ? ? … ? ? ? 0 0 0 … 1 1 0 0 0 0 … 0 1 1