Question

已知函数 f(x)=lnx- a(x-1) x+1 ．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范

已知函数 f(x)=lnx- a(x-1) x+1 ．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证 m-n lnm-lnn ＜ m+n 2 ．

Answer 1

（1）f′（x）= 1 x - a(x+1)-a(x-1) (x+1) 2 = (x+1) 2 -2ax x (x+1) 2 = x 2 +(2-2a)x+1 x (x+1) 2 ， 因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立 即x 2 +（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立， 当x∈（0，+∞）时，由x 2 +（2-2a）x+1≥0， 得：2a-2≤x+ 1 x ， 设g（x）=x+ 1 x ，x∈（0，+∞）， 则g（x）=x+ 1 x ≥2 x? 1 x =2，当且仅当x= 1 x 即x=1时，g（x）有最小值2， 所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]； （2）要证 m-n lnm-lnn ＜ m+n 2 ，只需证 m n -1 ln m n ＜ m n +1 2 ， 即ln m n ＞ 2( m n -1) m n +1 ，即ln m n - 2( m n -1) m n +1 ＞0， 设h（x）=lnx- 2(x-1) x+1 ， 由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又 m n ＞1， 所以h（ m n ）＞h（1）=0，即ln m n - 2( m n -1) m n +1 ＞0成立， 得到 m-n lnm-lnn ＜ m+n 2 ．