Question

观察下列算式：1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 2 …对任意正整数n，你能得

观察下列算式：1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 2 …对任意正整数n，你能得出怎样的结论？用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）观察算式： 1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 2 … 可得1+3+5+…+（2n-1）=n 2 ． 证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立． ②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k 2 ， 则当n=k+1时， 1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k 2 +2k+1=（k+1） 2 这就是说n=k+1时，等式成立． 根据①，②，等式对任意的n∈N * 均成立．