已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).(Ⅰ)若a=1,作函数f(x)的图象并写出单调区间;(Ⅱ)当a
已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).(Ⅰ)若a=1,作函数f(x)的图象并写出单调区间;(Ⅱ)当a≥0时,设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(...
已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).(Ⅰ)若a=1,作函数f(x)的图象并写出单调区间;(Ⅱ)当a≥0时,设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;(Ⅲ)设h(x)=f(x)x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围.
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(I)当a=1时,f(x)=x2-|x|+1=
,
作图如下
单调减区间:(-∞,?
],[0,
],单调增区间:[-
,0],[
,+∞),
(II)当x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.
若a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=-3.
若a>0,则f(x)=a(x-
)2+2a-
-1,f(x)图象的对称轴是直线x=
.
当0<
<1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,
g(a)=f(1)=3a-2.
当1≤
≤2,即
≤a≤
时,g(a)=f(
)=2a-
-1.
当
>2,即0<a<
时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
g(a)=f(2)=6a-3.
综上可得g(a)=
.
(III)当x∈[1,2]时,h(x)=ax+
-1,在区间[1,2]上任取x1、x2,且x1<x2,
则h(x2)-h(x1)=(ax2+
?1)?(ax1+
?1)=(x2-x1)(a?
)
=(x2-x1)
.…(11分)
因为h(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(x2)-h(x1)>0.
因为x2-x1>0,x1x2>0,所以ax1x2-(2a-1)>0,
即ax1x2>2a-1.
当a=0时,上面的不等式变为0>-1,即a=0时结论成立.
当a>0时,x1x2>
,由1<x1x2<4,得
≤1,解得0<a≤1.
当a<0时,x1x2<
,由1<x1x2<4,得
≥4,解得-
≤a<0.
所以实数a的取值范围为[?
,1].
|
作图如下
单调减区间:(-∞,?
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(II)当x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.
若a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=-3.
若a>0,则f(x)=a(x-
1 |
2a |
1 |
4a |
1 |
2a |
当0<
1 |
2a |
1 |
2 |
g(a)=f(1)=3a-2.
当1≤
1 |
2a |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2a |
1 |
4a |
当
1 |
2a |
1 |
4 |
g(a)=f(2)=6a-3.
综上可得g(a)=
|
(III)当x∈[1,2]时,h(x)=ax+
2a?1 |
x |
则h(x2)-h(x1)=(ax2+
2a?1 |
x2 |
2a?1 |
x1 |
2a?1 |
x1x2 |
=(x2-x1)
ax1x2?(2a?1) |
x1x2 |
因为h(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以h(x2)-h(x1)>0.
因为x2-x1>0,x1x2>0,所以ax1x2-(2a-1)>0,
即ax1x2>2a-1.
当a=0时,上面的不等式变为0>-1,即a=0时结论成立.
当a>0时,x1x2>
2a?1 |
a |
2a?1 |
a |
当a<0时,x1x2<
2a?1 |
a |
2a?1 |
a |
1 |
2 |
所以实数a的取值范围为[?
1 |
2 |
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