Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）2+y2=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．（Ⅰ）当b=0时，求实数k

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）2+y2=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．（Ⅰ）当b=0时，求实数k的值；（Ⅱ）当b∈(?12，1)时，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当b=0时，点M（0，0）在圆C：（x-1）²+y²=1上，
若足MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，
即直线l：y=kx-1过圆心（1，0），
代入解得k=1．
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（x₁，kx₁-1），（x₂，kx₂-1）
则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
则x₁?x₂=

1

k2+1

，x₁+x₂=

2(k+1)

k2+1

则

MP

=（x₁，kx₁-1-b），

MQ

=（x₂，kx₂-1-b）
由MP⊥MQ则
x₁?x₂+（kx₁-1-b）?（kx₂-1-b）=0
即

2k2+2k

k2+1

＝(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(?

1

2

，1)
∴

2k2+2k

k2+1

＝(b+1)+

1

(b+1)

∈[2，

5

2

）
解得k≥1
故实数k的取值范围[1，+∞）