Question

三重积分

求∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz，区域D：x² + y² + z² ≤ 1，其中p，q，r都是正偶整数。

Answer 1

楼上的解法应该是错的，积分区域是单位球内部，而不是正方体！
利用球面坐标进行计算
令 x=h*sint*cosu
y=h*sint*sinu
z=h* cost
于是D'={(h,t,u)| 0≤h≤1, 0≤t≤π, 0≤u≤2π}，且dxdydz=h²sint dhdtdu
于是∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz
= ∫∫∫D' [h^p] [(sint)^p] [(cosu)^p] [h^q] [(sint)^q] [(sinu)^q] [h^r] [(cost)^r] h²sint dhdtdu
=∫[0,1] h^(p+q+r+2)dh ∫[0, π] [(sint)^(p+q+1)] [(cost)^r] dt ∫[0,2π] [(cosu)^p][(sinu)^q]du
第一个积分∫[0,1] h^(p+q+r+2)dh容易计算
第二个积分∫[0, π] [(sint)^(p+q+1)] [(cost)^r] dt 凑一个sint到dt中，然后整个被积函数全变成cost的表达式，也能积分出来
第三个积分也可以全部变成sinu或者cosu的函数，也可以积分出来
主要是过程太麻烦，打字太累了，所以后面的工作指提了下思路。
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

郭敦顒回答：
∵∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz，区域D：x² + y² + z² ≤ 1，其中p，q，r都是正偶整数。
∴∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz=∫[0，1] (x^p) dx•∫[0，1] (y^q) dy•∫[0，1] (z^r) dz
=[x^（p+1）]/（p+1）|[0，1] •[q y^（q+1）]/（p+1）|[0，1]
•[z^（r+1)]/（r+1)| [0，1]
=[x^（p+1）]/（p+1）•[q y^（q+1）]/（p+1）•[z^（r+1)]/（r+1)
特别地，当其中p，q，r都是正偶整数2时，
∫∫∫_D (x^p)(y^q)(z^r) dxdydz=（1/27）x³y³r³。

Answer 3

Answer 4

晕