Question

求大神讲解： 积分： 1/(1+x^4) 从0到正无穷定积分 求较为细致的答案

Answer 1

∫ dx/(1+x^4)
=(1/2)[∫(1+x²)dx/(1+x^4)+∫(1-x²)dx/(1+x^4)] ................ 分子分母同除于x²
=(1/2){∫[(1/x²)+1]dx/(1/x²+x²)+∫[(1/x²)-1]dx/(1/x²+x²)}
=(1/2){∫[d[x-(1/x)]/[(x-1/x)²+2]-∫d[x+(1/x)]/[(x+1/x)²-2]}
=(1/2){(1/√2)arctan[(x-1/x)/√2]-(1/2√2)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|}+C
=[1/(2√2)]arctan[(x²-1)/x√2]-(1/4√2)ln[(x²-x√2+1)/(x²+x√2+1)]+C
从而在0到+∞的积分为π/(2√2)
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Answer 2

略去积分限
∫ 1/(1+x⁴) dx
=(1/2)∫ (1+x²+1-x²)/(1+x⁴) dx
=(1/2)∫ (1+x²)/(1+x⁴) dx + (1/2)∫ (1-x²)/(1+x⁴) dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫ (1/x² + 1)/(1/x² + x²) dx - (1/2)∫ (1 - 1/x²)/(1/x² + x²) dx
分子放到微分符号之后
=(1/2)∫ 1/(1/x² + x² - 2 + 2) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(1/x² + x² + 2 - 2) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x-1/x)² + 2] d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/[(x + 1/x)² - 2] d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] - (√2/8)ln|(x + 1/x - √2)/(x + 1/x + √2)| |[0→+∞]
=(√2/4)[π/2 - (-π/2)]
=√2π/4

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