Question

请问一下这题的详细过程？

Answer 1

曲线L:y=y(x)过M(1,2),即y(1)=2.①

在点(x,y)处的法线方程为Y-y=(-1/y')(X-x),即X+y'Y-x-yy'=0,
依题意|-x-yy'|/√(1+y'^2)=y,
平方得(x+yy')^2/(1+y'^2)=y^2,
去分母得x^2+2xyy'+y^2y'^2=y^2+y^2y'^2,
x^2-y^2=-2xyy',②
设y=ux,则dy=xdu+udx,②变为
(1-u^2)dx=-2u(xdu+udx),
整理得(1+u^2)dx=-2uxdu,
分离变量得dx/x=-2udu/(1+u^2),
lnx=-ln(1+u^2)+lnC,
x(1+u^2)=C,③
由①，u(1)=y(1)=2,
所以C=5,③变为x^2+y^2=5x.无所求。