Question

已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为为实数），x∈R．我能不能用韦达定理

1）若f（x）有一个零点为-1，且函数f（x）的值域为【0，正无穷），求f（x）的解析式；

Answer 1

（1）由已知a－b+1=0，且－=－1，解得a=1，b=2，
∴函数f（x）的解析式是f（x）=x2+2x+1；
（2）在（1）的条件下，f（x）>x+k，即x2+x+1－k>0，
从而k<x2+x+1在区间[－3，－1]上恒成立，
此时函数y= x2+x+1在区间[－3，－1]上是减函数，且其最小值为1，
∴k的取值范围为（－∞，1）；
（3）∵f（x）是偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，
由mn<0知m、n异号，不妨设m>0，则n<0，又由m+n>0得m>－n>0，
F（m）+F（n）=f（m）－f（n）=am2+1－（an2+1）=a（m2－n2），
由m>－n>0得m2>n2，又a>0，得F（m）+F（n）>0，
∴F（m）+F（n）的值为正．

Answer 2

值域为0到正无穷，且f(-1)=0，说明它只有一个零点，f(x)=a(x+1)^2=ax^2+2ax+a
所以a=1，函数f(x)=x^2+2x+1

Answer 3

a>0
f(-1)=a-b+1=0
-b/(2a)=-1
a=1 b=2

Answer 4