Question

试用定积分表示由曲线y=x^2,直线x=1,x=2及X轴所围成平面图形的面积，并据定义求之

Answer 1

所围成平面图形的面积用积分可表示为S=∫(1,2)x^2dx。计算得出的面积为7/3。

解：根据题意可知，

曲线y=x^2与直线x=1，x=2及X轴围成的图形中，

1≤x≤2，dy=x^2dx，

那么所围成平面图形的面积用积分可表示为，

S=∫(1,2)x^2dx，

计算可得，S=∫(1,2)x^2dx=7/3。

即所围成区域的面积为7/3。

定积分的性质

若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)。

（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0。

（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)。

（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)）。（其中k为不为零的常数）

定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题。

（2）求变速直线运动的路程。

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

（3）变力做功。

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

Answer 2

Answer 3

A=∫(1->2) y dx
=∫(1->2) x^2 dx
= x^3/3 |(1->2)
= 7/3