Question

求不定积分sin5xcos3xdx

Answer 1

具体回答如下：

∫sin5xcos3xdx

＝（1/2）∫［sin（5x－3x）＋sin（5x＋3x）］dx

＝（1/2）∫sin2xdx＋（1/2）∫sin8dx

＝（1/4）∫sin2xd（2x）＋（1/16）∫sin8xd（8x）

＝－（1/4）cos2x－（1/16）cos8x＋C

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)，即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

换元法经常用于消去被积函数中的根式，当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

Answer 2

方法一：
∫sin5xcos3xdx
＝（1/2）∫［sin（5x－3x）＋sin（5x＋3x）］dx
＝（1/2）∫sin2xdx＋（1/2）∫sin8dx＝（1/4）∫sin2xd（2x）＋（1/16）∫sin8xd（8x）
＝－（1/4）cos2x－（1/16）cos8x＋C。

方法二：
∵∫sin5xcos3xdx
＝（1/3）∫sin5xd（sin3x）＝（1/3）sin5xsin3x－（1/3）∫sin3xd（sin5x）
＝（1/3）sin5xsin3x－（5/3）∫sin3xcos5xdx
＝（1/3）sin5xsin3x＋（5/9）∫cos5xd（cos3x）
＝（1/3）sin5xsin3x＋（5/9）cos5xcos3x－（5/9）∫cos3xd（cos5x）
＝（1/3）sin5xsin3x＋（5/9）cos5xcos3x＋（25/9）∫sin5xcos3xdx，
∴（1－25/9）∫sin5xcos3xdx＝（1/3）sin5xsin3x＋（5/9）cos5xcos3x，
∴－（16/9）∫sin5xcos3xdx＝（1/3）sin5xsin3x＋（5/9）cos5xcos3x，
∴∫sin5xcos3xdx＝－（3/16）sin5xsin3x－（5/16）cos5xcos3x＋C。

Answer 3

Answer 4

-cos8x/16 + cos2x/4 + C

解题过程如下：

使用积化和差公式：

∫sin3x*cos5x*dx

=1/2*∫[sin(5x+3x) - sin(5x -3x)]*dx

=1/2*∫[sin8x - sin2x]*dx

=1/2*∫sin8x*dx - 1/2*∫sin2x*dx

=1/2*1/8*∫sin8x*d(8x) - 1/2*1/2*∫sin2x*d(2x)

=-1/16*cos8x + 1/4*cos2x + C

=-cos8x/16 + cos2x/4 + C

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1