Question

已知R(a1, a2, a3)=3, R(a1, a2, a3, a4)=3, R(a2, a3, a4)=2。

证明： 1）a4能由a2,a3,线性表示；
2）a1不能由a2,a3,a4表示。

Answer 1

1）
R(a1, a2, a3)=3，说明a1, a2, a3线性无关。a2, a3线性无关。
R(a2, a3, a4)=2，说明a2, a3, a4线性相关。存在非零常数使得k1a2+k2a3+k3a4=0，又a2， a3线性无关，所以k3≠0，k1、k2至少有一非0，a4=-k1/k3a2-k2/k3a3。所以a4能由a2,a3线性表示。
2）
R(a1, a2, a3, a4)=3，说明a1, a2, a3, a4线性相关。假设a1能由a2,a3,a4表示
，又因为a4能由a2，a3线性表示，所以a1能由a2，a3线性表示，即
R(a1, a2, a3)<3，与题设矛盾。所以a1不能由a2,a3,a4表示。