Question

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点 P( 2 ，- 6 2

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点 P( 2 ，- 6 2 ) ，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B，C．（1）求椭圆的方程；（2）若△ABC的面积为 18 7 2 ，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) （1分） 由题设知 a 2 - b 2 =1 2 a 2 + 3 2 b 2 =1 ，解得： a=2 b= 3 （5分） 因此，椭圆的方程为： x 2 4 + y 2 3 =1. （6分） （2）若直线l⊥x轴，则l的方程为：x=-1， 此时B、C的坐标为 (-1， 3 2 ) 、 (-1，- 3 2 ). 由于点A的坐标为（2，0），则△ABC的面积为 9 2 . 不合题意，舍去：（7分） 若直线l不与x轴垂直，可设l的方程为：y=k（x+1）． 则直线与椭圆恒有两交点． 由 y=k(x+1) x 2 4 + y 2 3 =1 ，得：（3+4k 2 ）x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0（8分） 记B（x 1 ，y 1 ）、C（x 2 ，y 2 ），则有 x 1 + x 2 =- 8 k 2 3+4 k 2 x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ，（9分） 由于 |BC|= (1+ k 2 )[ ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] = 12(1+ k 2 ) 3+4 k 2 点A到直线l的距离为 |3k| 1+ k 2 ，（11分） 将上面两式代入△ABC的面积公式可得： 1 2 ? 12(1+ k 2 ) 3+4 k 2 ? |3k| 1+ k 2 = 18 7 2 ，（12分） 整理得：17k 4 +k 2 -18=0（13分） 解得： k 2 =- 18 7 （舍去），k 2 =1故k=±1， 从而，直线l的方程为：y=±（x+1）．（14分）