Question

已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 QP ?

已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 QP ? QF = FP ? FQ ．（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=-1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由 QP ? QF = FP ? FQ ，得 （x+1，0）?（2，-y）=（x-1，y）?（-2，y），化简得y 2 =4x； （Ⅱ）由 y=kx+m y 2 =4x ，得k 2 x 2 +（2km-4）x+m 2 =0， 由△=0，得km=1，从而有M（m 2 ，2m）， N(-1，- 1 m +m) ， 设点E（x，0），使得ME⊥NE，则 (x- m 2 )(x+1)+(-2m)( 1 m -m)=0 ． （1-x）m 2 +x 2 +x-2=0，得x=1． 所以存在一个定点E（1，0）符合题意．