Question

在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离，记点 的轨迹为曲线 . (I) 给出

在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离，记点 的轨迹为曲线 . (I) 给出下列三个结论：①曲线 关于原点对称；②曲线 关于直线 对称； ③曲线 与 轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线 上的点到原点距离的最小值为______.

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Answer 1

②③；

试题分析：(I)P点到两坐标轴距离分别为  曲线 方程为  ，该方程中用 分别替换原方程中的 方程改变，所以曲线 不关于原点对称；而用 分别替换原方程中的 方程不变，所以曲线 关于直线 对称．曲线 与x轴非负半轴，0 轴非负半轴围成的封闭图形即为 与x轴非负半轴，0 轴非负半轴围成的封闭图形，由 化简得： ，它的图象可由 向左平移一个单位，再向下平移1个单位而得到，它的图象与两坐标轴的交点为 ，结合图象可知：  ，故正确的序号为②③．(Ⅱ)由 得：  ，即 ，当 时，该式可化简为 ；当 时，该式可化简为 ，即 或 ，进而可以画出曲线 ，结合图象可知，曲线 与直线  在第一象限的交点距离原点最近，由 解得： ，故最短距离为  ．