Question

如图所示，在以O为圆心，半径为R=10 3 cm的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁感应

如图所示，在以O为圆心，半径为R=10 3 cm的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.10T，方向垂直纸面向外．竖直平行放置的两金属板A、K相距为d=20 3 mm，连在如图所示的电路中．电源电动势E=91V，内阻r=1.0Ω，定值电阻R 1 =10Ω，滑动变阻器R 2 的最大阻值为80Ω，S 1 、S 2 为A、K板上的两个小孔，且S 1 、S 2 跟O在竖直极板的同一直线上，OS 2 =2R，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D点之间的距离为H=2R．比荷为2.0×10 5 C/kg的正离子流由S 1 进入电场后，通过S 2 向磁场中心射去，通过磁场后落到荧光屏D上．离子进入电场的初速度、重力、离子之间的作用力均可忽略不计．问：（1）请分段描述正离子自S 1 到荧光屏D的运动情况．（2）如果正离子垂直打在荧光屏上，电压表的示数多大？（3）调节滑动变阻器滑片P的位置，正离子到达荧光屏的最大范围多大？

Answer 1

（1）正离子在两金属板间受到电场力而作匀加速直线运动，离开电场后做匀速直线运动，进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，离开磁场后，离子又做匀速直线运动，直到打在荧光屏上． （2）设离子由电场射出后进入磁场时的速度为v．因离子是沿圆心O的方向射入磁场，由对称性可知，离子射出磁场时的速度方向的反向延长线也必过圆心O．离开磁场后，离子垂直打在荧光屏上（图中的O′点），则离子在磁场中速度方向偏转了90°，由几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的半径 r′=R=10 3 cm① 设离子的电荷量为q、质量为m，进入磁场时的速度为v有 由qvB=m v 2 r′ 得 r′= mv qB ② 设两金属板间的电压为U，离子在电场中加速，由动能定理有： qU= 1 2 m v 2 ③ 而 q m =2×105C/kg ④ 由②③两式可得U= B 2 r ′ 2 q 2m ⑤ 代入有关数值可得U=30V，也就是电压表示数为30V． （3）因两金属板间的电压越小，离子经电场后获得的速度也越小，离子在磁场中作圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，也就越可能射向荧光屏的左侧． 由闭合电路欧姆定律有，I= E R 1 + R 2 +r =1A． 当滑动片P处于最右端时，两金属板间电压最大，为U max =I（R 1 +R 2 ）=90V 当滑动片P处于最左端时，两金属板间电压最小，为U min =IR 1 =10V 两板间电压为U min =10V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最左端点，由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v 1 =2×10 3 m/s，离子在磁场中做圆运动的半径为r 1 =0.1m． 此时粒子进入磁场后的径迹如图答2所示，O 1 为径迹圆的圆心，A点为离子能射到荧光屏的最左端点．由几何知识可得： tan α 2 = r 1 R = 3 3 ，所以α=60° 所以AO′=Htan（90°-α）=2× 10 3 × 3 3 cm=20cm 而两板间电压为U max =90V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最右端点，此时粒子进入磁场后的径迹如图答3所示， 同理由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v 1 =6×10 3 m/s，离子在磁场中做圆运动的半径为r 1 =0.3m，或直接由⑤式求得r 2 =0.3m 由几何知识可得tan β 2 = r 2 R = 3 即β=120° 所以O′B=Htan（β-90°）=2×10 3 × 3 3 cm=20cm 离子到达荧光屏上的范围为以O′为中点的左右两侧20cm． 答：（1）正离子自S 1 到荧光屏D的运动情况是正离子在两金属板间作匀加速直线运动，离开电场后做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场后，离子又做匀速直线运动，直到打在荧光屏上． （2）如果正离子垂直打在荧光屏上，电压表的示数30V． （3）调节滑动变阻器滑片P的位置，正离子到达荧光屏的最大范围是以O′为中点的左右两侧20cm．