Question

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC、PE的中点． (1)求证：AD⊥PE；(2)求二面角E－AD－G的正切值．

Answer 1

（1）AD⊥PE；（2） .

试题分析：（1）证明线线垂直要通过线面垂直证明，题中所给侧面PAD⊥底面ABCD是面面垂直，通过取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，而OE⊥AD.，则AD⊥平面OPE.，从而能够证出AD⊥PE..（2）求二面角E－AD－G的正切值可以通过两种方法：①常规方法，作出二面角的平面角，并求出，取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG，又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，再利用三角形中边长关系求出∠GOE的正切值；②空间向量法，建立如图所示的空间直角坐标系，写出已知点的坐标，设平面ADG的法向量为 ，根据 ，求出 ，而平面EAD的一个法向量为 ，再根据 求出. 试题解析：（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD， 又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD. 又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE. ∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE. （2）解法一：取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG， 又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角， ∵PA＝PD，∠APD＝60°， ∴△APD为等边三角形，且边长为2， ∴OP＝ ×2＝ ，FG＝ OP＝ ，OF＝ CD＝1， ∴OG＝ ，∴cos∠GOE＝ 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0， )，E(0,2,0)， ∴ 设平面ADG的法向量为 ， 由 得 ， ∴ . 又平面EAD的一个法向量为 ， 又因为 .