Question

已知二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)

已知二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤ .(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.

Answer 1

（1）f(1)＝1.   （2）见解析   （3）见解析

(1)解　∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立， 当x＝1时，f(1)≥1， 又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤ ＝1， ∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1. (2)证明　∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1. 又∵a－b＋c＝0，∴b＝ .∴a＋c＝ . ∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立， ∴ax 2 － x＋c≥0对x∈R恒成立． ∴ ，　∴ ∴c>0，故a>0，c>0. (3)证明　∵a＋c＝ ，ac≥ ， 由a>0，c>0及a＋c≥2 ，得ac≤ ， ∴ac＝ ，当且仅当a＝c＝ 时，取“＝”． ∴f(x)＝ x 2 ＋ x＋ . ∴g(x)＝f(x)－mx＝ x 2 ＋ x＋ ＝ [x 2 ＋(2－4m)x＋1]． ∵g(x)在[－1,1]上是单调函数， ∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.