Question

平面直角坐标系xOy中，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，

平面直角坐标系xOy中，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v 0 垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点与y轴正方向成60 0 角射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R；（2）粒子从M点运动到P点的总时间t；（3）匀强电场的场强大小E．

Answer 1

（1）设粒子过N点时的速度为v，根据平抛运动的速度关系 v= v 0 cos60° ① 分别过N、P点作速度方向的垂线，相交于Q点，则Q是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，根据牛顿第二定律 qvB= m v 2 R ② 联立①②解得轨道半径 R= 2m v 0 qB ③ （2）设粒子在电场中运动的时间为t 1 ，有 ON=v 0 t 1 ④ 由几何关系得 ON=Rsin30°+Rcos30°⑤ 联立③④⑤解得 t 1 = (1+ 3 )m qB ⑥ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T= 2πm qB ⑦ 由几何关系知∠NQP=150°，设粒子在磁场中运动的时间为t 2 t 2 = 150° 360° T⑧ 联立⑦⑧解得 t 2 = 5πm 6qB ⑨ 故粒子从M点运动到P点的总时间 t=t 1 +t 2 =（1+ 3 + 5π 6 ） m qB ⑩ （3）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t 由牛顿第二定律：qE=ma （11） 设沿电场方向的分速度为v y ， v y =at（12） 粒子在电场中x轴方向做匀速运动，由图根据粒子在磁场中的运动轨迹可以得出： 粒子在x轴方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v 0 t （13） 又：v y =v 0 tan60°（14） 联立（11）（12）（13）（14）可以解得E= (3- 3 ) v 0 B 2 答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径为 2m v 0 qB （2）粒子从M点运动到P点的总时间为（1+ 3 + 5π 6 ） m qB （3）匀强电场的场强大小为 (3- 3 ) v 0 B 2