Question

如图1所示，真空中存在电场强度E=1.5×10 3 V/m、方向竖直向上的匀强电场．在电场中固定有竖直面内的光滑

如图1所示，真空中存在电场强度E=1.5×10 3 V/m、方向竖直向上的匀强电场．在电场中固定有竖直面内的光滑绝缘轨道ABC，其中AB段水平，BC段是半径R=0.5m的半圆，直径BC竖直．有两个大小相同的金属小球1和2（均可视为质点），小球2的质量m 2 =3×10 -2 kg、电量q=+2×10 -4 C，静止于B点；小球1的质量m 1 =2×10 -2 kg、不带电，在轨道上以 初速度v 0 = 5 2 5 m/s向右运动，与小球2发生弹性正碰，碰撞时间极短，取g=10m/s 2 ，求：（1）碰撞后瞬间小球2的速度v 2 的大小（2）小球2经过C点时，轨道对它的压力F N 的大小以及它第一次落到轨道AB上的位置距B点的距离x（3）若只改变场强E的大小，为了保证小球2能沿轨道运动并通过C点，试确定场强E的取值范围；并在图2的坐标系中，画出小球2由B点沿轨道运动至C点的过程中，其电势能变化量△E P 与场强E的关系图象（画图时不必说明理由）

Answer 1

（1）设两小球碰撞后的速度速度分别为v 1 、v 2 ，则 m 1 v 0 =m 1 v 1 +m 2 v 2 弹性碰撞，无机械能损失，故： 1 2 m 1 v 20 = 1 2 m 1 v 21 + 1 2 m 2 v 22 解得： v 2 = 2 m 1 v 0 m 1 + m 2 = 2×2×1 0 -2 × 5 2 5 2×1 0 -2 +3×1 0 -2 =2 5 m/s （2）设小球2经过C点时速度为v 2 ′，由动能定理，有： （ q 2 E- m 2 g)?2R= 1 2 m 2 v′ 22 - 1 2 m 2 v 22 ?2R= 1 2 m 2 v′ 22 - 1 2 m 2 v 22 解得： v 2 ′= 10 m/s 又 F N + m 2 g- q 2 E= m 2 v ′ 22 R 得： F N = m 2 v ′ 22 R - m 2 g+ q 2 E= m 2 v 22 R -5 m 2 g+ 5 2 qE 代入数据得： F N =0.45N 小球2离开C点后做类平抛运动，加速度： a= m 2 g- 1 2 qE m 2 = 1 2 g =5m/s 2 2R= 1 2 a t 2 解得： t= 4R a 所以x= v ′ 2 t= 10 × 4×0.5 5 =2m （3）在上述（2）中，令F N ≥0，即有 m 2 v 22 R -5 m 2 g+ 5 2 qE≥0 E≥ 2 m 2 (g- v 22 5R ) q = 2×3×1 0 -2 ×(10- 20 5×0.5 ) 2×1 0 -4 =600 V/m 又由题设有：qE≤m 2 g E≤ m 2 g q = 3×1 0 -2 ×10 2×1 0 -4 =1.5×1 0 3 V/m 故满足题目要求的场强E大小的取值范围是： 0.6×10 3 ≤E≤1.5×10 3 V/m 电势能变化量△E与场强E的关系图象如图： 答：（1）碰撞后瞬间小球2的速度v 2 的大小为2 5 m/s； （2）小球2经过C点时，轨道对它的压力F N 的大小为0.45N，它第一次落到轨道AB上的位置距B点的距离x为2m； （3）场强E的取值范围为：0.6×10 3 ≤E≤1.5×10 3 V/m； 小球2由B点沿轨道运动至C点的过程中，其电势能变化量△E P 与场强E的关系图象如图所示．