Question

（2011?宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中

（2011?宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB、CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．（2）如果点E分线段AB为AEEB=13，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF=______（直接填写结果）；（3）如果点E分线段AB为AEEB=mn，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
在△ADF与△GCF中，

∠D＝∠GCF DF＝FC ∠DFA＝∠CFG(对顶角相等)

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；

（2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

1

3

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

1

4

，
∴EG=

BH

4

，
∴EF=EG+GF=

BH

4

+AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF=

5?3

4

+3=3.5；

（3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

m

n

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

m

m+n

，
∴EG=

m

m+n

BH，
∴EF=EG+GF=

m

m+n

BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF=

m

m+n

×（b-a）+a=

mb+na

m+n

．