如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.(1
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.(1)求证:CD=CE;(2)若AB=4,BC-AC=...
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.(1)求证:CD=CE;(2)若AB=4,BC-AC=2,分别求弦BC、AE的长.
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(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵DC=BC,
∴AB=AD,
∴∠D=∠B,
∵∠E=∠B,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE;
(2)在Rt△ACB中,AB=4,BC-AC=2,即AC=BC-2,
∵AB2=AC2+BC2,
∴(BC-2)2+BC2=42,
整理得BC2-2BC-6=0,解得BC=1+
(BC=1-
舍去),
∴BD=2BC=2+2
,
∵∠D=∠D,∠B=∠E,
∴△CDE∽△ADB,
∴
=
,即DE=
=4+
,
∵AD=AB=4,
∴AE=DE-AD=4+
-4=
∴∠ACB=90°,
∵DC=BC,
∴AB=AD,
∴∠D=∠B,
∵∠E=∠B,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE;
(2)在Rt△ACB中,AB=4,BC-AC=2,即AC=BC-2,
∵AB2=AC2+BC2,
∴(BC-2)2+BC2=42,
整理得BC2-2BC-6=0,解得BC=1+
7 |
7 |
∴BD=2BC=2+2
7 |
∵∠D=∠D,∠B=∠E,
∴△CDE∽△ADB,
∴
DE |
DB |
CD |
AB |
(2+2
| ||||
4 |
7 |
∵AD=AB=4,
∴AE=DE-AD=4+
7 |
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