如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：CD=CE；（2）若AB=4，BC-AC=...
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：CD=CE；（2）若AB=4，BC-AC=2，分别求弦BC、AE的长．
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（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DC=BC，
∴AB=AD，
∴∠D=∠B，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE；
（2）在Rt△ACB中，AB=4，BC-AC=2，即AC=BC-2，
∵AB2=AC2+BC2，
∴（BC-2）2+BC2=42，
整理得BC2-2BC-6=0，解得BC=1+
（BC=1-
舍去），
∴BD=2BC=2+2
，
∵∠D=∠D，∠B=∠E，
∴△CDE∽△ADB，
∴
=
，即DE=
=4+
，
∵AD=AB=4，
∴AE=DE-AD=4+
-4=
∴∠ACB=90°，
∵DC=BC，
∴AB=AD，
∴∠D=∠B，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE；
（2）在Rt△ACB中，AB=4，BC-AC=2，即AC=BC-2，
∵AB2=AC2+BC2，
∴（BC-2）2+BC2=42，
整理得BC2-2BC-6=0，解得BC=1+
| 7 |
| 7 |
∴BD=2BC=2+2
| 7 |
∵∠D=∠D，∠B=∠E，
∴△CDE∽△ADB，
∴
| DE |
| DB |
| CD |
| AB |
(2+2
| ||||
| 4 |
| 7 |
∵AD=AB=4，
∴AE=DE-AD=4+
| 7 |
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